《数与形》教学设计
教学目标：
1.通过观察、计算和分析，能在形中找到数的规律；也能在数中找到与之对应的形。
2.经历探究数与形的全过程，在探究过程中进一步感知数形结合的思想。
3.引导学生感受以形表数的直观性和以数释形的规律性，体会数形结合思想在解决问题中的优越性。
教学重难点：
重点：发现数与形中隐藏的规律，理解数与形之间的对应关系，感知数形结合的思想，并体会其优越性。
难点：利用数形结合的思想解决问题。
教学过程：
一、谈话引入，揭示主题
师：在前面的学习中，我们常常跟数、形打交道。那大家有没有经历过用数形相结合来解决问题呢?现在让我们穿越时空去看一看。
(出示微课：一年级9+7=16通过小棒来解决,三年级四分之一加四分之三借用正方形来进行计算,四年级的植树问题）
师：其实，数形相结合思想对我们来说并不陌生，它一直贯穿于我们数学学习之中。著名的数学家华罗庚先生就曾经说过这样一段话:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”(课件出示)
师：我们全班一起读一遍。
师：数形结合百般好，好在哪呢？这节课，我们就一起走进数学广角---数与形（板书课题），来探索其中的奥秘。
二、活动体验，解决问题
师：观察这些图形，各有多少个小正方形？用数或算式表示出来。将结果写在你的任务单上。
师：有些同学写出了一种或几种，请再思考下，能不能从不同的角度写出其他的表示方法呢？（找3个同学将答案写在黑板上）
生1：1，4，9，16
生2：1，22，32，42
生3：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7
师：这里有3种不同的表示方法，第1种能看懂吗？怎么来的？
生：直接数。
师：第2种呢？
生2:用每行的小正方形的个数乘行数。
师：说得真好！在大正方形里，由于每行的小正方形的个数等于行数。因此，我们可以用每行小正方形个数的平方即可算出。
师：按这种规律，那第5个图形的小正方形个数为？第n个图形呢？
生：52，n2。(板书5的平方)
师：这就是第2种方法体现出来的规律。
师：第3种有点特殊，谁来给我们讲一讲？（上台边指边讲）
生3：“1”是指第一个图形有1个小正方形；“1+3”表示在第一个图形的基础上增加了3个小正方形；“1+3+5”表示在第二个图形的基础上增加了5个小正方形……
师：感谢这位同学，他提醒我们可以这样一层一层地观察（撕下白纸层）。按照这种思路，同学们，第1个图形有几层，第2个图形呢？（2层，3层……）
师：继续下去，第5个图形有几层，以及对应的加法算式是什么？
生：第5个图形有5层，加法算式是1+3+5+7+9+11.（板书）
师:同学们回答得都非常正确。第5个图形就是在4乘4的图形基础上再增加一层，变成边长为5的大正方形。（贴板书）
师：看来，每个大正方形都有与之对应的算式。同一个图形，观察角度不同，可以写出不同的表示方法。
师：既然这里的乘法和加法算式都表示小正方形的个数，那这两种表示方法有什么联系？（相等）它们呢？（也相等）
师：好，那我们就用等号把它们连接起来。
师：接下来，请同学们仔细观察这些算式，它们有什么特点？（先独立思考，小组成员之间相互讨论，3分钟）
师：时间到，哪个小组来汇报下你们的讨论结果。
生1：从1开始加起；
生2：都是奇数相加；
生3：这些奇数都是连续的；
生4：有几个数相加，就是几的平方。
师：同学们观察的非常细致，找到了这么多的特点。如果我们把这些规律归纳总结成一句话是什么呢？谁来试一试？
生：从1开始的几个连续奇数相加，和就是几的平方。
师：归纳总结的非常准确且完整，请坐。接下来，我们全班一起把这句话读一遍。
师：咦,原来这些图形中隐藏着数的规律，我们可以用算式表示出来，这就是形中有数。反过来，是不是给你一个算式也有一个形等着它呢？
（二）体会数中有形
师：观察下面数的特点，它的结果是多少？你能想象一下，这个算式对应哪个图形吗？
出示题目：1+3+5+7+9+11 = ?
生：这个算式的结果是36，对应的是边长为6的正方形，有6个数相加。
……
师：（课件显示边长为6的大正方形）很好，同学们都能迅速地在脑海里想象出图形的样子。
师追问：刚才有学生说是边长为6的正方形，这个6可以怎么快速得到？
生1：因为1加到12共有12个数，12个数中有一半偶数，一半奇数，所以应该有12的一半，即6个奇数，因此是6的平方。
生2：6表示每行小正方形的个数，要求每行小正方形的个数，我们要看最后一层，这里最后一层有11个，而每行个数与行数相等，且重叠了1个小正方形，因此，我们可以用（11+1）除以2=6算出。
师：大家听懂了吗？好，我们用这种方法试试这个题。
出示题目：1+3+5+7+9+11+13+15 =
师：算式的结果是多少？对应哪个图形呢？
生：齐答（结果是82，对应的是8乘8的正方形。）
师：接下来，你能自己写出一个类似的算式吗？先完成任务三，然后同桌相互交流一下。（1分钟）
师：你觉得他们写得怎么样？谁能给我们解释解释？
教师通过手机拍照，展示学生成果。同时点学生进行评价。
（三）介绍正方形数
师：原来，像这样的算式都有一个正方形与它对应，这就是数中有形。以后再遇到特殊的算式求和，我们可以借助图形进行分析思考，这便是数形结合的优越性。
师：在这里，我们得到的小正方形数1，4，9，16……在数学中，我们把它称为平方数或正方形数。除此之外，到了中学我们还会继续研究三角形数、五边形数等等。
三、巩固练习，加深理解
师：通过刚才的探究，让我们感受到形中有数，数中有形，数形结合的好。接下来，我们利用所学的方法去解决其他的数与形问题。
（一）基础练习
1.请你根据例1的结论算一算。
（1）1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）
（2）________________________=9的平方
（3）1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）
（4）1+3+5+……+49=（ ）
师：请同学们在作业单上完成。
师：谁来说一说，你是怎么做的？
生1：第1题我是直接根据规律算出结果。
生2：第2题我是逆向运用规律写的。
生2：第3题，我把这个算式看成两部分，第一部分是7的平方，第二部分是6的平方。
生3：第4题，我用（1+49）除以2得到25个数，所以是25的平方。
师：看来，只要我们抓住算式特点，根据规律就能直接算出结果。
（二）综合练习
师：接下来，请同学们独立完成第2题。
2.下面每个图中最外圈各有多少个小正方形。
照这样画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？你能解释其中的道理吗？
师：有没有同学愿意分享下你的思路？
生1：从计算结果看，最外圈的小正方形个数就是n的8倍，第5个图形最外圈有40个小正方形。
生2:我还可以根据规律往后继续写两个算式，从而计算出第5个图形最外圈小正方形的个数。
师：其实老师还发现了一个规律，请看，52-32=(5-3)(5+3)……为什么会这样呢？这是一个重要的计算公式，老师在这里先卖个关子，等同学们进入初中后就会研究这个问题。
（三）拓展练习
3.选一选。
2+4+6+8+10+12=（ ）
A.6的平方
B.6的平方+6
C.7的平方
想一想：上面这个算式对应了那个图形？
师：谁来说说你是怎么做的？
师：接着，想一想，这个算式对应那个图形呢？
生：6乘7的长方形。
师：你的空间想象真棒，还有其他同学也想到了吗？
师：我们一起来看看吧。
师：那算式中的这些数在那里？
生：在这里（边指边说）
师：哦，原来这些数是在这藏着的。
四、课堂小结，课后延伸
师：同学们，通过今天的学习，你有哪些收获呢？
生1：我知道了，从1开始的几个连续奇数相加，和就是几的平方。
生2：形中有数，数中有形，数形结合可以帮助我们解决问题。
师：很好，只要把数和形紧密的结合起来，解决问题会变得更简单，数学也会变得更加有趣。
师：今天的课就上到这里，同学们下课。
