原题再现

设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，n∈N+，且a2=15，S5=65.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵设数列｛bn｝的前n项和为Tn，且Tn=Sn－10，求数列｛|bn|｝的前n项和Rn。

该题是一个数列的题型，上述需要注意点也是做数列题型需要注意的点，所以该注意的点需要掌握，否则怎么扣分都不知道。

下面就在讲解题的过程中来详细的说明。

第一问解答

第一问是求数列an的通项公式。

求出数列an的通项公式一般就是需要求出数列的公差和首项。

第一步，求出数列an的公差。

根据等差数列的前n项和公式Sn=(a1+an)n/2，且S5=65，则S5=(a1+a5)×5/2=65，解得到a1+a5=26.

根据等差数列的基本性质，则有2a3=a1+a5，则a3=13.

根据等差数列公差d=a3－a2，则d=13－15=－2.

第二步，求出数列an的首项。

根据an=a(n+1)－d，则a1=a2－d，a1=17.

第三步，求出数列an的通项公式。

根据等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d，由第一步和第二步可知d=－2,a1=17，则有an=17+(n－1)(－2)，即an=19－2n。

综上所述，数列an的通项公式为an=19－2n。

第二问解答和注意事项

第二问的思路：

根据数列an求出Sn，根据Sn求出Tn，根据Tn求出数列bn，根据bn求出|bn|的前n项和。

第二问解法：

第一步，求出Tn。

由第一问可知，数列an的首项a1为17，公差d为－2.

根据等差数列的前n项和公式，则Sn=na1+1/2n(n－1)d，则Sn=18n－n^2.

因为Tn=Sn－10，所以Tn=18n－n^2－10.

第二步，求出bn的通项公式。

根据bn=Tn－T(n－1)，且T(n－1)=18n－18－n^2+2n－1－10=20n－n^2－29，则

bn=18n－n^2－10－20n+n^2+29=19－2n。

注意事项1：此时n≥2，所以还需验证n=1是否成立。

第三步，验证b1.

因为b1=T1=18－1－10=7，将n=1代入bn=19－2n中，则有b1=19－2=17.

此时7≠17，所以当n=1时不符合数列bn的通项公式。

综上所述，数列bn的通项公式为bn=7,n=1和bn=19－2n,n≥2.

第四步，求出bn等于0的临界点。

令bn=0，则19－2n=0，解得到n=9.5.

当n<9.5时，数列bn为正数。

当1≤n≤9时，数列|bn|的前n项和等于数列bn的前n项和；

当n≥10时，数列|bn|的前n项和等于数列bn前n项和的相反数。

第五步，求出数列|bn|的前n项和。

因为Rn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|，且数列bn的前9项大于0，则

Rn=b1+b2+b3+…+b9－(b10+b11+…+bn)

=2（b1+b2+b3+…+b9）－(b1+b2+b3+…+b9+b10+b11+…+bn)

=n^2－18n+152

直接得出上述这个前n项和Rn对不对？

至少要扣一半分！！！

注意事项2：数列bn出现绝对值，即求数列|bn|的前n项和时，需要分别说明n的取值范围。

上述的解答只是求出数列|bn|当n≥10时的前n项和，但是还需注意的是，还有当1≤n≤9的时候的数列的前n项和。

这是比较简单的，但是也恰恰是容易忽视的。

正确答案：

当1≤n≤9时，数列|bn|的前n项和=数列bn的前n项和。

此时Rn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=b1+b2+b3+…+bn=－n^2+18n－10；

当n≥10时，数列|bn|的前n项和≠数列bn的前n项和。

此时Rn=b1+b2+b3+…+b9－(b10+b11+…+bn)=n^2－18n+152.

综上所述，数列|bn|的前n项和Rn=－n^2+18n－10，1≤n≤9和Rn=n^2－18n+152，n≥10.

总结

求数列｛|bn|｝的前n项和Rn时应该注意的问题也是本题的易错之处：

第一，在求数列bn时需要验证b1，这也是很多同学做题时易忘记或者忽视的地方；

第二，当数列bn加上绝对值后求解前n项和的过程中，会有很多同学忘记考虑当1≤n≤9时的数列前n项和，直接认为你n是大于9的情况。

求解含有绝对值的数列的前n项和的时候，它的关键点：就是要判断出数列各项的符号，从而求掉绝对值符号，将问题转化成普通数列前n项和的求解。