第三讲 约数与倍数
一、教学目标
1、掌握约数与倍数的性质以及求法；
2、会利用约数与倍数之间的关系解决问题。
二、知识体系
奇数与偶数（四年级暑假） 数论一 （四年级秋季）
约数与倍数（四升五暑假） 数论综合（五年级秋季、寒假）
数论（整除）
质数与合数（四升五暑假） 数阵图（四、五年级春季、寒假）
同余定理（五年级秋季） 数字迷（四、五年级春季、寒假）
考点：①求最大公约数、最小公倍数
②约数的个数
③应用题
三、知识要点
约数和倍数的定义：
如果一个自然数
能被自然数
整除，那么称
为
的倍数，
为
的约数。
最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数，公约数中最大的一个就称为这若干个自然数的最大公约数。例如（4，6）＝2，（6，9，15）＝3。
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数，公倍数中最小的一个就称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：[4，6] ＝12，[6，9，15] ＝90。
最小公倍数
1、求最小公倍数的方法：
①分解质因数的方法
例如
②短除法求最小公倍数：
例如
所以
③
.
2、最小公倍数的性质：
①两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。
②两个互质的数的最小公倍数就是这两个数的乘积。
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。
最大公约数
1、求最大公约数的方法：
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如
，所以
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除以大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数为0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数。（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的）
例如，求105，165的最大公约数：
所以105，165的最大公约数为15。
2、最大公约数的性质：
①几个数都除以他们的最大公约数，所得几个商都是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
，所得的积最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
。
例题详解
【例1】1）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数8？
2）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数9？
3）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数15？
【例2】（06年中环杯四年级复赛）从一张长1617毫米，宽693毫米的长方形纸片上，剪下一个边长最大的正方形。如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后能剪得正方形多少个？最后剪得的正方形边长是多少毫米？请画示意图表示。
【例3】边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形共有多少种？
【例4】把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成尽可能大的相等的正方形，而且没有剩余，可以裁成多少块？
【例5】现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每个班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了几个班？每个班至少分到三种水果各多少千克？
【例6】求48和80的最小公倍数（用两种不同的方法）
【例7】（05年小学生数学报全国邀请赛）今年祖父的年龄是小申年龄的6倍，若干年后是他的5倍，再过若干年后是他的4倍。今年祖父、小申各是多少岁，
【例8】有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？
回家作业
【练习1】请用辗转相除法求899与372的最大公约数。
【练习2】请用短除法求42与108的最小公倍数。
【练习3】有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个的数余3个，5个5个的数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？
【练习4】一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成米娜及相等的小正方形，而纸无剩余，且使变长最长，问可裁成几张？
【练习5】有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？
【练习6】两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540，这样的自然数一共有多少组？
一男养一猪，特烦它，就想把它给扔了，但是此猪认得回家的路，扔了好多次都没有成功。某日，此人驾车弃猪，当晚打电话给他的妻子问：“猪归否？”其妻曰：“归矣。”男非常气愤，大吼道：“快让它接电话，我迷路了。”
