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高中抛物线公式大全总结(高中数学抛物线的几组结论及应用)

100次浏览     发布时间:2024-09-20 10:18:47     编辑: 小探历史解说 当前位置: 首页 > 知识大全 >


结论1、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,设,O为原点,则有:

(1);(2);(3);(4)

结论2、直线l交抛物线于A()、B()两点,O为原点。若OA⊥OB,则直线l经过定点(2p,0),,反之亦然。

例1、过抛物线的焦点F,作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别是p、q,则等于

A. 2a

B.

C. 4a

D.

解:将抛物线方程,化为y,从而由结论1中的(4)知,本题正确答案应选C。

例2、设抛物线E为,AB和CD为过焦点F的弦。求证:(1);(2)以AB与CD为直径的两圆的公共弦必过原点。

证明:(1)由结论1中的(3)知

(2)设A、B、C()、D(),

则以AB为直径的圆的方程为

以CD为直径的圆的方程为

两式相减并整理得公共弦方程:

由结论1中的(1)(2)知:

则公共弦方程中常数项为0,故公共弦必过原点。

例3、设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴。证明:直线AC经过原点O。

证明:设A、B,由结论1中的(2)知

∵BC//x轴,且点C在抛物线的准线上,

∴点C的坐标为

则直线AC经过原点O。

例4、已知抛物线,动直线l交抛物线于两点A、B,且,O为原点,O在l上的射影为H。

(1)求点H的轨迹方程。

(2)设过A、B、O三点的圆的圆心为C,直线l的倾斜角的范围为

,求直线OC的斜率的取值范围。

解:(1)因为,

由结论2知:直线l经过定点M(0,2p)。

由OH⊥l,得

设H(x,y),则

∴所求点H的轨迹方程为:

(2)因为,由结论2知:OA⊥OB,则圆心C为AB的中点,

故可设直线l方程为:

代入抛物线方程消去y得

由中点坐标公式,求得C(pk,),

又由题设知:,从而求得

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