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圆球体积计算公式(1500年前的数学家如何计算球体积)

100次浏览     发布时间:2024-10-21 08:02:29     编辑: 考试微课堂 当前位置: 首页 > 知识大全 >

《易·系辞》中说:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”,说明古人结绳和契刻的方式记数和记事。西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形及一些复杂的几何图形,同时期人们创造了画圆和画方的工具规和工具矩,中国的数学可以追溯到5000到6000年前。

半坡陶符光影图

然而,很多人认为中国的古代数学其实不是数学,最多被称为算术或者算学,不同于西方以古希腊为代表的基于逻辑推理下的数学。比如:勾股定理,无论是有记载或者没记载的,虽然中国对其发现早于西方几百年,但长时间的知其然,不知其所以然。我们对其证明要晚于西方数学界,直到现在西方数学也称该定理为“毕达哥拉斯定理”,毕竟人家是有记录的第一个把勾股定理给予证明的!

事实上,中国的数学并不是不堪一击,我们今天讲的球的体积公式,确实是由中国人一板一眼的推出来的!并且推导过程均是胜在取巧,本文将出现的三个关键词:《九章算术》,刘徽,祖暅!让我们一起来领略古代数学的魅力!

一、《九章算术》

《九章算术》,作者不详,经西汉的张苍、耿寿昌等人删补而成,在唐宋两代,它是朝廷明令要求的官方数学教科书,也就是说虽然高考不考,但是也算是必修课程。

《九章算术》的“少广”章主要解决两个问题,“开方术”和“开立方术”,该章的第二十四问:“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?”也就是问:“已知体积是1644866437500尺的球,求这个球的直径是多少?”

具体方法在“开立圆术”这样说道:“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。”意思是说:“把体积乘以16,再除以9,然后开立方,就得到球的直径了。”

更直白的说,《九章》认为正方体的体积和它的内切球的体积之比是:16:9。用现代数学的观点来看,显然不精确,但是在当时已经是非常了不得了。那么,这个16:9是如何来的呢?这里要引入古代数学中常见的两个名词:“方”和“圆”,一个正方形和一个圆形。现在我们知道正方形和它的内切圆的面积之比是4:π,由于古代《周髀算经》对圆周率有“径一周三”的记载,故圆周率取3,就得到了“方”和“圆”的面积之比是4:3。

最后,把圆柱体视为“方”,把球体视为“圆”,由于“方”:“圆”=4:3,所以得到这个两个公式:正方体:圆柱=4:3;圆柱:球=4:3。所以正方体:球=16:9。

虽然不是很精确,但也不得不佩服古人的智慧,古人用圆柱作为过渡量,而不是粗暴的将“方”“圆”做比例。

二、刘徽

刘徽,魏晋时期伟大数学家。著有《九章算术注》和《海岛算经》。

就在他为《九章》做注的时候,发现上述推理过程中的错误,即“圆柱:球=4:3”是错误的。我们可以把原公式中的3还原成π,那么得到“圆柱:球=4:π”。现在不妨用现在数学知识进行推导,设球半径是r,圆柱的高是2r,则圆柱体积=2πr³,而球体积=4/3πr³,二者之比=3:2。确实是问题比较大。

发现问题,就要解决问题。如何能正确得到球的体积公式呢?正所谓“从哪里跌倒,就从哪里爬起来”,我们的刘徽还是从正方体出发。他构思了一个看似奇葩,却有确实有效的物体,它叫做“牟合方盖”。

这里的“牟”意思是相同。“盖”意思是伞。“牟合方盖”就是指两个面合在一起的两个相同的方伞。它是由一个正方体出发,先用竖直方向的内切圆柱截正方体,得到一个圆柱体,再用水平方向的圆柱再截一次,两个圆柱的共同部分所形成的几何体,就叫做“牟合方盖”。

看似容易的一个方盖,这一创举足以让刘徽名垂青史,虽然刘徽的贡献还有很多,比如我们都知道圆周率和祖冲之,但殊不知祖冲之计算圆周率的理论支撑是“割圆术”,而“割圆术”的发明者正是刘徽,并且刘徽将圆周率计算到3.14,只不过祖冲之的圆周率更精确罢了。牛顿说:“我之所以比别人看得远一些,是因为我站在巨人的肩膀上”,此时祖冲之有话说:“巨人肩膀,我们都值得拥有!”

“牟合方盖”恰好把正方体的内切求包含在内,并且二者是相切的关系。如果用一个水平面去截方盖,会得到一个正方形和一个内切圆,二者的面积比例是4:π。从而得到“方盖”和“球”的体积之比是4:π。现在所有的工作重心落在了如何求出“牟合方盖”的体积,一旦求出该体积,球的体积瞬间即可攻破!

此时,剧情出现了转折,刘徽说:“敢不阙言,以侯能言者。”翻译过来就是:“我弄不了了,谁行谁上吧!”显然,就当时的社会情况,你刘徽大神都搞不定,谁能接住这个活啊?至此,球的体积告一段落。让我们一起等待另一个巨匠的出现!

三、祖暅

祖暅[gèng],南北朝时期,祖冲之之子。不得不佩服祖氏一家这优秀的基因,打虎亲兄弟,上阵父子兵,爷俩互相学习,共同发展,也是当今社会亲子关系的典范!

祖暅认为,要想成就一番事业,巨人的肩膀还是要踩的,自己的爸比用了刘徽的“割圆术”,成功的精确的计算了圆周率,荣登数学大神之列,而他将用刘徽大神的“牟合方盖”,继续为祖氏家族添光加彩。

小祖同学知道球的体积就是卡在如何求出“牟合方盖”体积,而他选择攻破的恰恰就是这个方盖的体积。显然硬算肯定是不灵的,必须要取巧。

也许在某一年的某一天,祖暅在家里闲着无事,看着一些铜钱发呆。他发现:这两摞铜钱,每摞十个,无论怎么样摆放,这两摞铜钱的体积一定是相等的。这么弱智的结论激起了祖暅的好奇心,为什么会这样呢?

原因是它们在任意截面处有相同的面积,所以它们的体积是相等的。在此基础上,诞生了著名的“祖暅原理”:幂势既同,则积不容。就是说:如果两个几何体在任意截面处的面积都相等,那么这两个几何体的体积是相等的!要知道在西方,需要等到一千年后,由意大利数学家卡瓦列利才提出这一原理。

有了这个原理,就不需要硬求“牟合方盖”的体积了,只需要找到一个和“牟合方盖”体积相同的几何体,这个几何体需要满足两个条件:①简单易求,②与方盖满足“幂势既同,则积不容”。

又到了脑洞大开的时间,这个几何体终于被小祖同学找到了。

首先,小祖把“牟合方盖”进行8等分

我们把它称之为8个“小方盖”,切割方法是:俯视方盖,横竖两刀,正视方盖,横着来一刀。(如果想象不出来,不妨做一道小学奥数题:如何用三刀把一块蛋糕分成八块?)这个时候只一个小方盖,整个方盖就搞定了。

牟合方盖被8等分

牟合方盖被8等分后,其中的一块

接下来,小祖发现,找到这样的一个几何体还是很困难的,再次“取巧”,动用“割补法”

当我们求不出目标几何体的体积,试图把它不成一个规则的几何体,再减去剩余部分就行了。接下来我们详细展示一下小祖是如何运用“祖暅原理”求出“小方盖”的体积的。我们会用到大量的现代数学符号,而当时小祖同学却没有这些便利的工具,所以说小祖同学的智力确实是卓越非凡的!

设球的体积是r,将“小方盖”放在棱长为r的正方体中,定义:把正方体中除去小方盖部分称为“小方盖剩余”,找到与其“幂势既同”的几何体。先计算图二的阴影,在用正方形的面积减图二阴影,得到图一的阴影面积。再构建一个倒放的四棱锥,使得与“小方盖剩余”符合“祖暅原理”。

具体过程:

这样来看图三的四棱锥的体积与小方盖剩余的体积必然相等。则:

再根据刘徽的体积比例:“方盖”和“球”的体积之比是4:π,此时可得到球的体积是4/3πr³,这就是世界公认的球体积公式。球的体积公式是由中国人独立研发,先后经历三个版本,经过千年测试均可完美运行。更重要的,其推理方法,附属定理,让解决其他数学问题变得有章可循!

经过几代人的努力,终于使中国数学在世界范围内留下了光辉灿烂的一笔!

确实,中国古代数学不同于古希腊数学,是完全的另一套体系,我们的内容多来自生产与实践,算法程序化和机械化,注重应用。在算法上,我们说第二,就无人敢说第一!比如,十进位制、今有术、盈不足术等等算法,曾经传到印度和阿拉伯,再由这些国家传到欧洲乃至全世界,对世界数学的发展起到非常大的促进作用!

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