数学思维与直觉思维的差异。——在数学思维中，规则是显而易见的，但却很少能应用于日常生活中。由于缺乏应用的习惯，人们把思维用到这方面就存在困难：然而只要稍加运用，人们便能充分地看到这些原则。它们如此清晰，是无法被人们忽视的，如果做出错误的推理，那肯定是犯了思维上的错误。
然而在直觉思维中，规则却是根植于日常应用之中的，且呈现在每个人的面前。人们无须做其他努力，只要用眼睛看一看就可以，这只是一个洞察力的问题。人们必须有敏锐的洞察力，因为这些原则是如此细微且数量众多，以至于有些很容易被错过和忽略。漏掉一条原则，就会导致错误，因此，人们必须有异常敏锐的洞察力来看清全部的原则；而且，正确的思维才不会从一些已知的原则中推理出错误的结论。
任何一位数学家，只要有敏锐的洞察力，就会有敏锐的直觉，他们是不会用已知的条件做出错误的推理的；而具有直觉思维的人，如果能把目光转到他们不惯用的那些数学原则上，那么他们也会成为数学家。
人是一根会思考的芦苇（帕斯卡）
因而，某些直觉思维不是数学思维，某些具有直觉思维的人之所以不能成为数学家，就是因为他们未能将自己的注意力转移到数学原则上来。而某些数学家之所以没有敏锐的直觉，就是因为他们对自己眼前的东西视而不见，他们习惯于精确而明晰的数学原则，在没有仔细检查和掌握原则之前，他们是不会进行推论的，因此一遇到需要敏锐直觉的事物他们就会感到茫然无措，因为这些敏锐的原则是无法这样安排的。这些原则是很少能看到的，我们只能感受它们而无法看到它们。对于那些没有亲身感受到这些原则的人，别人要想使他们感受到也是非常困难的。
这些原则是如此细微且数目众多，以至于我们必须要有非常灵敏和清晰的感觉才能感受到它们，并在感受到它们时做出正确公允的判断。但这往往不能通过数学的方式加以证明，因为假如用这样的方式，我们将永远无法明白这些原则，也因为用这样的方式，将是一件无休止的事情。我们必须在一瞬间看清整个事件，而不是靠推理，至少在一定程度上是这样的。
因此数学家大都不注重直觉，而注重直觉的人也大都不是数学家，因为数学家在面对需要敏锐直觉的事物时希望采用数学的方式，先是用定义，接着进行定理和推论，而这对这类直觉的原则根本不适用，所以反把他们自己弄得荒唐可笑。这并非是说，我们的直觉思维没有在进行推理，而是说它默默地、自发地进行着，没有技术上的创造。它的表现方式是超乎人力的，只有少数人能感觉到它。
相反地，拥有直觉思维的人习惯于一眼就做出判断。所以，当他们被问到那些他们毫不理解的命题时，他们会觉得非常惊讶。因为这些命题的推论通过定义和定理没有丝毫结果，且还要经过细节繁杂而又令人厌恶和泄气的论证，他们不习惯这些，因此会望而却步并觉得灰心丧气。
然而思维迟钝的人是既不能成为具有直觉思维的人，也不能成为数学家的。那些仅仅是数学家的数学家有严密的思维，但所有事物都需要我们用定义和定理的方式来向他们解释，否则他们就是错误的和令人无法理解忍受的。只有在原则清清楚楚的时候，他们才会是正确的。
而那些仅有直觉思维的直觉敏锐的人，是没有耐心去探索事物在概念上的根本原则的，这些原则是他们在世界上从未见过的，并且是脱离了日常生活的。有各种不同的正确理解。有的人在事物的某一特定方面有正确的理解，但在其他方面却一无所知。有的人能通过为数不多的前提得出正确的结论，这也是做出正确判断的一种方式。
另外，还有些人能通过大量的前提很好地得出结论。例如，有一些人很容易掌握流体静力学，虽然前提很少，但他们得出的结论却十分精确，这些人是极其敏锐的。
即便如此，这些人也未必就是伟大的数学家，因为数学包含着大量的前提，而或许有这样一种智慧：对那些只有少数前提的事物，他可以轻松地钻研，甚至深入探究，但对那些具有大量前提的事物，却无法看透。
因此，便有两种不同的思维：一种能准确而敏锐地从所给的前提中深入结论，这是一种准确的思维；另一种则能清晰地理解众多的前提，而不会混淆，这就是数学的思维。前一种思维有力而准确，后一种思维有领悟力。两者之中的任何一种思维都可以在没有另一种思维的支持下独立存在，理智可以是强大而狭隘的，也可以是理解力强而又脆弱的。
